Det finns många roliga och intressanta egenskaper hos polygonerna. Det mest intressanta är kanske polygonernas vinkelsumma, och hur dessa kan räknas fram genom att rita trianglar inuti polygonerna.

En polygons vinkelsumma ökar med antalet sidor. Men istället för att mäta samtliga vinklar och addera ihop dem för att finna summan, kan vi istället rita in trianglar i polygonen. Trianglarna ritas genom att dra streck från ett av hörnen till de övriga hörnen.

Figur 1 – tetragon

I Figur 1 ovan har vi en tetragon, en polygon med fyra sidor. Varje vinkel är 90 grader. Vinkelsumman blir därför \(90\times4=360^{\circ}\).

Genom tetragonen har vi dragit ett streck (den streckade magentafärgade linjen). Strecket delar tetragonen i två trianglar. En triangels vinkelsumma är alltid 180° (se Figur 2). Vi lägger då ihop de båda trianglarna och får \(2\times180=360^{\circ}\), alltså den totala vinkelsumman för tetragonen.

Figur 2 – en triangels vinkelsumma är alltid 180°

Tricket med trianglarna stämmer även om tetragonens sidor inte är lika långa som i Figur 3 nedan. Även här får vi två trianglar vilket ger oss \(2\times180=360^{\circ}\). Om vi kontrollräknar vinklarna så stämmer det: \(87.2+78.2+140+54.6=360^{\circ}\).

Figur 3 – tetragon med olika långa sidor

Likaså fungerar det på andra polygoner, så som pentagoner och heptagoner. Figurerna nedan, Figur 4 och Figur 5, visar en pentagon (fem sidor) respektive en heptagon (sju sidor), båda med trianglar ritade mellan hörnen.

Figur 4 – pentagon

Pentagonen ovan har fem vinklar och alla är 108°. Detta ger oss \(5\times108=540^{\circ}\). Vi har tre trianglar ritade med de streckade linjerna. Tre trianglar ger oss \(3\times180=540^{\circ}\).

Figur 5 – heptagon

Heptagonen ovan har sju vinklar, alla är 128,6° (128,57143° för att vara exakt). Detta ger oss \(7\times128.6=900.2^{\circ}\approx900^{\circ}\). Inuti heptagonen har vi ritat 5 trianglar vilket ger oss \(5\times180=900^{\circ}\).

Några mönster och en formel

Mönstret vi ser i ovanstående exempel är att trianglarna alltid är två färre än antalet sidor. Tetragonen har har fyra sidor och vi kunde skapa två trianglar. Pentagonen har fem sidor och vi kunde skapa tre trianglar. Heptagonen har sju sidor och vi kunde skapa fem trianglar.

Detta borde ge oss en formel \(v=180\times(n-2)\) där \(v\) är vinkelsumman och \(n\) är antalet sidor i polygonen.

• För tetragonen blir det \(180\times(4-2)=360^{\circ}\)

• För pentagonen blir det \(180\times(5-2)=540^{\circ}\)

• För heptagonen blir det \(180\times(7-2)=900^{\circ}\)

Detta stämmer överens med vad vi nyss sett för polygonerna.